Страница № 099. Учебник

Учебник: Алгебра. 8 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 10-е изд., испр. — М.: Мнемозина, 2010. — 384 с.: ил.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, «99», 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300, 301, 302, 303, 304, 305, 306, 307, 308, 309, 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 318, 319, 320, 321, 322, 323, 324, 325, 326, 327, 328, 329, 330, 331, 332, 333, 334, 335, 336, 337, 338, 339, 340, 341, 342, 343, 344, 345, 346, 347, 348, 349, 350, 351, 352, 353, 354, 355, 356, 357, 358, 359, 360, 361, 362, 363, 364, 365, 366, 367, 368, 369, 370, 371, 372, 373, 374, 375, 376, 377, 378, 379, 380, 381, 382, 383, 384

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Вообще, доказано, что не существует многочлена Р(п) с целыми коэффициентами, значением которого при любом п является простое число. Не удалось также найти более сложное выражение, обладающее таким свойством.

Особое внимание математиков к простым числам обусловлено тем, что любое натуральное число, большее единицы, либо является простым, либо разлагается на простые множители. Доказательство этого утверждения содержится в «Началах», там же, где доказывается бесконечность множества простых чисел и приводится алгоритм Евклида. Однако единственность разложения составного числа на простые множители в явном виде Евклид не сформулировал. Лишь в 1801 г. немецкий математик Карл Фридрих Гаусс сформулировал и строго доказал так называемую основную теорему арифметики:

для любого натурального числа, большего единицы, существует единственное (с точностью до порядка следования множителей) разложение этого числа на простые множители, т. е. любое натуральное число а, большее 1, можно единственным образом представить в виде а = рр- pf • ... • где p_v р₂ ..., p_k — простые числа, n_v п₂, ..., n_k — натуральные числа.

С понятиями простого и составного числа связаны многие задачи на делимость.

П р и м е р 1. Докажем, что если р — простое число и р > 5, то либо р²- 1, либо р²- 19 делится на 30.

Так как число р — простое, то в зависимости от остатков, которые могут получаться при делении числа р на 30, оно может иметь вид: 30m + 1, 30т + 7, 30т + 11, 30т + 13, 30т + 17, 30т + 19, 30т + 23, 30т + 29. Иначе говоря, число р может быть представлено в одном из видов:

Выражая отсюда р², получим: р²=(30т ± I)² = 900 т² ± 2 30m + 1, р²= (30т ± 7)² = 900 т² ± 2 30т 7 + 49, р² = (30т ± II)² = 900 т² ± 2 30т • 11 + 121, р²= (30т ± 13)² = 900 т² ± 2 • 30т 13 + 169.

Очевидно, что в первом и третьем случаях на 30 делится число р² - 1, а во втором и четвертом — число р² - 19.

Пример 2. Докажем, что если п € N и п > 1, то значение выражения (п² + 1 )(п - 1 )(п + 1) + 5 является составным числом.

Алгебра, 8 класс (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов) 2010

Страница № 099.

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

Учебники по алгебре за 7 класс

Учебники по алгебре за 8 класс

Учебники по алгебре за 9 класс

Учебники по алгебре за 10 класс

Учебники по алгебре за 11 класс